中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养.本书的文章系根据2016年数学所讲座8个报告的讲稿整理而成，按报告的时间顺序编排.具体内容包括：K-等价与代数闭链、泰希米勒空间、高维仿真李代数、特殊拉格朗日方程、从太阳系的稳定性谈起、典型李群及其表示、随机分析与几何、引力的全息性质及其应用等.
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目 录
1 K-等价与代数闭链 王金龙
1.1 双有理几何与极小模型 1
1.1.1 代数曲面的极小模型 2
1.1.2 极小模型纲领 MMP 2
1.1.3 几何空间翻转手术：复理/复络 4
1.1.4 3维的特殊性 5
1.2 K-等价与上同调 6
1.2.1 K-等价关系 6
1.2.2 一个启发性的几何论点7
1.2.3 p-进制积分与Betti/Hodge数 7
1.3 变量替换公式与复椭圆亏格 9
1.3.1 曲率积分（陈-示性数）、复亏格与共边理论.9
1.3.2 证明的想法：留数定理 10
1.4 K-等价猜想与初步证据 10
1.4.1 K-等价猜想 10
1.4.2 具有局部结构（S，F，F′）的普通Pr复络的定义 11
1.4.3 高维情形关于Ⅳ的早期证据 12
1.4.4 高维时Ⅰ与Ⅱ在特殊复络下的证据.12
1.4.5 高维情形关于Ⅲ的附记 14
1.5 利用弧线空间建构代数闭链的提案 14
1.5.1 弧线空间与变量替换 14
1.5.2 从弧线空间构造**An（X×X′） 15
1.6 半小K-等价与母题 16
1.6.1 半小K-等价 16
1.6.2 利用反常层的分解定理 17
1.6.3 代数闭链型的Kunneth 公式 17
参考文献 18
2 泰希米勒空间理论及其应用 刘劲松
2.1 全纯函数 23
2.2 黎曼曲面结构.24
2.3 拟共形映照 27
2.4 黎曼模问题 29
2.5 泰希米勒空间的应用 33
2.5.1 低维拓扑 33
2.5.2 曲面映射类群 .36
2.5.3 圆填充 37
2.5.4 复解析动力系统 41
2.5.5 泰希米勒空间的其他应用 44
2.6 总结 44
3 高维仿射李代数——从单位圆谈起 郜云
3.1 背景介绍 46
3.2 高维仿射李代数的定义及性质 48
3.2.1 高维仿射李代数的定义和性质 48
3.2.2 双线性型的半正定性与卡茨猜想 50
3.3 高维仿射李代数的分类 51
3.3.1 半格与高维仿射根系 51
3.3.2 根系分次李代数与高维仿射李代数 55
3.4 与斋藤工作的关系 57
3.5 根系分次李代数 58
3.6 高维仿射李代数的表示 60
3.6.1 例子：A型高维仿射李代数* 60
3.6.2 顶点算子表示 61
3.6.3 A1型高维仿射李代数*的埃尔米特表示 64
3.7 A型高维仿射李代数的量子化 66
参考文献 67
4 特殊拉格朗日方程 袁域
4.1 特殊拉格朗日方程的引入 71
4.1.1 方程的定义 71
4.1.2 方程的几何背景 72
4.1.3 方程的代数形式 73
4.1.4 方程的水平集 74
4.2 相关结果 75
4.2.1 概述 75
4.2.2 整体解的刚性 75
4.2.3 蒙日-安培方程的先验估计 77
4.2.4 临界及超临界相角的特殊拉格朗日方程的先验估计 77
4.2.5 次临界相角的特殊拉格朗日方程的奇异解 79
4.3 具有势函数的曲率流 80
4.3.1 欧氏空间中的拉格朗日平均曲率流 80
4.3.2 伪欧氏空间中的拉格朗日平均曲率流和凯莱流形上的凯莱-里奇流 82
4.4 未解决的问题 84
参考文献 85
5 从太阳系的稳定性问题谈起 尚在久
5.1 牛顿力学 88
5.2 拉普拉斯、拉格朗日和拉格朗日力学 91
5.3 哈密顿力学 93
5.4 庞加莱和动力学基本问题 95
5.5 柯尔莫哥洛夫-阿诺德-莫泽定理 （KAM定理） 98
5.5.1 圆周的保向微分同胚 100
5.5.2 环域的保面扭转映射 102
5.5.3 解析函数的线性化 103
5.6 太阳系稳定吗？ 103
参考文献 104
6 典型李群和它们的表示 孙斌勇
6.1 群和拓扑群 106
6.2 典型李群 108
6.3 极大紧子群和极大环面子群 110
6.4 有限维表示 112
6.5 经典分歧律 114
6.6 经典不变量理论 115
6.7 无穷维表示 117
6.8 Theta对应理论 118
6.9 局部Gan-Gross-Prasad猜想 119
参考文献 120
7 随机分析与几何 李向东
7.1 序 121
7.2 布朗运动 122
7.2.1 布朗的实验 122
7.2.2 爱因斯坦等关于布朗运动的研究 123
7.2.3 布朗运动的构造与性质 126
7.3 伊藤随机分析 127
7.3.1 朗之万随机微分方程 127
7.3.2 柯尔莫哥洛夫问题 128
7.3.3 随机微分方程 129
7.3.4 伊藤随机分析的建立 130
7.3.5 斯特拉托诺维奇积分 132
7.3.6 关于随机微分方程的极限定理 133
7.3.7 扩散与偏微分方程 134
7.3.8 若干注记 137
7.4 期权定价的布莱克-斯科尔斯-默顿理论 139
7.5 随机微分几何 142
7.5.1 流形上的随机微分方程与扩散过程 142
7.5.2 旋转群和李群上布朗运动的构造 143
7.5.3 流形上沿布朗运动的随机平行移动 144
7.5.4 流形上的布朗运动与测地线 148
7.5.5 双曲空间上的布朗运动 149
7.5.6 负曲率流形上的狄利克雷问题 150
7.5.7 微分形式上的热半群及博克纳零化定理的推广 151
7.5.8 流形上的泛函不等式 152
7.6 路径空间与环空间上的随机分析 153
7.7 流形上的Lp-霍奇理论 156
7.7.1 流形上的里斯变换Lp-有界性的概率研究 156
7.7.2 完备黎曼流形上的Lp-霍奇理论 158
7.7.3 完备K.ahler流形上*-算子的Lp-估计 159
7.7.4 复流形的研究中一个著名的猜想 160
7.8 跋 160
参考文献 163
8 引力的全息性质及其应用 蔡荣根 杨润秋
8.1 引力与时空弯曲 169
8.2 从黑洞热力学到全息原理 176
8.3 全息对偶在超导模型中的应用 187
参考文献 194
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