本书的主要目的是帮助读者初步形成综合运用数学方法解决物理问题的能力。其核心内容是偏微分方程，它是刻画在演化中蕴含守恒之物理世界诸多机制的重要手段。本书将着重讨论波动、热传导以及泊松方程这三类最典型的二阶线性偏微分方程，同时也将对特殊函数——一类可用于求解偏微分方程的重要分析工具进行讨论。本书也以函数发展的视角对初等函数、特殊函数以及人工智能中最为重要的深度神经网络定义的函数进行简单讨论。
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2001.09 2005.07 学士 复旦大学 信息与计算科学
2005.09 2008.09 直博（国家公派终止） 复旦大学 数学与应用数学
2008.09 2012.03 博士 牛津大学 应用数学2012.03 2016.08 香港科技大学 博士后研究员
2016.08 2018.01 大连理工大学 副教授
2018.01 2021.12 大连理工大学 特聘研究员
2021.12 现 在 大连理工大学 教授力学现主持国家自然科学基金面上项目等2项2020-2025 《固体力学学报》英文版青年编委
2018-2024 中国力学学会软物质力学工作组 成员
2015-2023 亚太工业应用数学联盟(APCMfI)，执委会成员
目录
第二版前言
第一版前言
第一部分 二阶线性偏微分方程
第1章 波动方程 3
1.1 弦振动方程的导出与定解条件 3
1.1.1 弦振动方程的导出 3
1.1.2 定解条件 8
1.1.3 偏微分方程分类概述 9
1.2 弦振动方程柯西问题的求解 10
1.2.1 达朗贝尔公式 11
1.2.2 达朗贝尔公式的物理意义与特征线 13
1.2.3 半无限长弦振动方程的求解 15
1.2.4 齐次化原理 19
1.3 分离变量法 21
1.3.1 初边值问题的提法 21
1.3.2 分离变量法 22
1.3.3 分离变量法解的物理意义 27
1.3.4 非齐次方程初边值问题的求解 28
1.4 高维波动方程.30
1.4.1 薄膜振动方程的导出 30
1.4.2 定解问题提法 34
1.4.3 高维波动方程柯西问题的解及其基本性质 35
1.5 波动方程解性质的讨论.39
1.5.1 能量表达式 39
1.5.2 波动方程解性质分析.40
课后习题 42
第2章 热传导方程 48
2.1 热传导方程的导出与定解条件 49
2.1.1 热传导方程的导出 49
2.1.2 热传导方程的定解条件.51
2.1.3 扩散过程的数学描述.52
2.2 柯西问题的求解与积分变换法 53
2.2.1 卷积与傅里叶变换 53
2.2.2 热传导方程柯西问题的求解 55
2.2.3 柯西问题解性质分析.58
2.2.4 热传导方程柯西问题的齐次化原理 59
2.3 分离变量法 62
2.3.1 热传导方程初边值问题的分离变量法 62
2.3.2 施图姆–刘维尔型方程及其性质 67
2.3.3 齐次化原理 71
2.4 热传导方程解的性质 71
2.4.1 极值原理 71
2.4.2 热传导方程初边值问题解的唯一性 73
2.4.3 热传导方程初边值问题解的稳定性 74
课后习题 74
第3章 泊松方程 77
3.1 泊松方程与调和方程 77
3.1.1 表达式 77
3.1.2 物理背景 78
3.1.3 泊松方程的定解条件.82
3.2 变分原理 84
3.3 调和方程极坐标系表达与径向解 88
3.3.1 拉普拉斯算子极坐标系表达 88
3.3.2 调和方程的径向解 89
3.4 格林函数法 91
3.4.1 格林公式的应用 91
3.4.2 格林函数法求解泊松方程 95
3.4.3 格林函数的性质与讨论.96
3.5 静电源像法 98
3.5.1 三维半空间问题静电源像法 98
3.5.2 球域问题的静电源像法 100
3.6 狄拉克函数与基本解102
3.6.1 狄拉克函数 102
3.6.2 线性偏微分方程的基本解 105
3.6.3 狄拉克函数与格林函数 106
3.7 定解问题的唯一性 107
3.7.1 平均值公式 107
3.7.2 极值原理与泊松方程狄利克雷型边值问题解的唯一性 108
3.7.3 强极值原理与泊松方程诺伊曼型边值问题解的唯一性 110
3.7.4 能量方法与泊松方程定解问题解的唯一性 111
课后习题 112
第4章 二阶线性偏微分方程分类与总结 116
4.1 二阶线性偏微分方程的分类 116
4.1.1 二阶线性偏微分方程的标准型.116
4.1.2 二阶线性偏微分方程的分类总结 123
4.1.3 多自变量二阶线性偏微分方程的分类 124
4.2 二阶线性偏微分方程的相关讨论 129
课后习题 135
第二部分 特殊函数
第5章 贝塞尔函数.139
5.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 140
5.1.1 贝塞尔方程的导出 140
5.1.2 第一类贝塞尔函数 142
5.1.3 第二类贝塞尔函数 146
5.2 贝塞尔函数的性质 149
5.2.1 递推公式 150
5.2.2 贝塞尔函数的零点 152
5.2.3 近似公式 153
5.2.4 由贝塞尔函数组成的完备正交系 154
5.2.5 与正余弦函数性质类比 157
5.3 利用贝塞尔函数求解偏微分方程 159
5.4 贝塞尔函数的衍生函数 167
5.4.1 第三类贝塞尔函数 167
5.4.2 修正贝塞尔函数 167
课后习题 168
第6章 勒让德多项式 170
6.1 勒让德方程 171
6.2 勒让德多项式的导出174
6.2.1 勒让德方程的幂级数解 174
6.2.2 勒让德多项式的定义 177
6.3 勒让德多项式的性质179
6.3.1 罗德里格斯公式 180
6.3.2 勒让德多项式重要性质概览.180
6.3.3 勒让德多项式的正交性 182
6.3.4 一般正交多项式的讨论 187
6.4 勒让德多项式的应用190
6.4.1 球域内亥姆霍兹方程分离变量法求解 190
6.4.2 高斯–勒让德求积公式 192
6.5 连带勒让德函数 196
课后习题 198
第7章 超几何函数简介 201
7.1 贝塞尔函数与勒让德函数的共性特征 202
7.2 高斯超几何函数 203
7.2.1 高斯超几何函数的定义 203
7.2.2 超几何微分方程 204
7.2.3 重温勒让德函数和勒让德多项式 208
7.3 汇合型超几何函数 211
7.3.1 库默尔微分方程及方程的解 211
7.3.2 汇合型超几何函数应用举例 212
7.4 超几何函数内容总结及人工智能相关新函数 213
7.4.1 超几何函数内容总结 213
7.4.2 与人工智能相关的新函数形式 214
课后习题 217
参考文献 218
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