《鞅与随机微分方程》系统地介绍概率论、鞅和随机积分及随机微分方程的基本理论。内容包括:测度与积分,独立性,RadonNikodym定理和条件数学期望等概率论的基础知识;停时、离散鞅和连续鞅的基本内容;鞅和连续局部半鞅随机积分的一般理论及It型随机微分方程的初步内容。阅读《鞅与随机微分方程》只需要读者具有初等概率论的知识,而不需要具备测度论的知识。
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《鞅与随机微分方程》:
第一篇 概率论基础
第1章 可测空间与乘积可测空间
1.1 万代数理论
概率论是研究随机现象的统计规律的数学学科.在概率论中,事件和概率是最基本的概念.从概率论本身发展的需要来看,明确地规定事件和概率是必需的,为了规定什么是事件,一方面要考虑到对事件应允许进行必要的运算,以满足分析随机现象的实际需要,因而事件类不能太小,至少对某些运算应该是封闭的;另一方面为了能对每个事件给出概率,并保证对概率有一定的要求,如可加性等,因此事件类就不能太大,否则就无法给出一个“兼顾各方面要求”的概率。
事件从其运算的观点来看,它与集合的运算是十分相近的.如果把试验可能结果叫的全体记为n,让事件A与“n中某些叫在试验中出现”对应,即事件A={属于n的子集A的任(t)在试验中出现,这样事件A与n的子集A就是一回事了.在这种对应之下,事件全体就是n的某些子集的集合,概率就应该是定义在n的某些子集上的一个以集合为自变量的函数,从而规定概率和事件所必须兼顾到的各种要求就变为了对集合类与集合函数应该满足的要求,由于代数理论在概率论、随机过程论及随机微积分学中经常涉及,所以,了解代数的结构特征是很有必要的。